阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的...

阅读下列材料，完成任务：

自相似图形

定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．

任务：

（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；

（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；

（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．

请从下列A、B两题中任选一条作答．

A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；

②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；

B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；

②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．

（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．【解析】试题（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解. 【解析】（1）∵点H是AD的中点， ∴AH=AD， ∵正方形AEOH∽正方形ABCD， ∴相似比为： ==；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5， ∴△ACD与△ABC相似的相似比为： =，故答案为：；（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD， ∴AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a， ∴a=b；故答案为： ②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b： a=a：b， ∴a=b；故答案为： B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等， ∴DN=b， Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时， ∵矩形FMND∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD=a， ∴AF=a﹣a=a， ∴AG===a， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即a：b=b：a 得：a=b； Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时， ∵矩形DFMN∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AB：AD 即FD： b=b：a 解得FD=， ∴AF=a﹣=， ∴AG==， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即：b=b：a，得：a=b；故答案为：或； ②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等， ∴DN=b， Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时， ∵矩形FMND∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD=a， ∴AF=a﹣a， ∴AG===a， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即a：b=b：a 得：a=b； Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时， ∵矩形DFMN∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AB：AD 即FD： b=b：a 解得FD=， ∴AF=a﹣， ∴AG==， ∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD 即：b=b：a，得：a=b；故答案为： b或b．

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考点分析：

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