Question

（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=1，求HG•HB的值．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）．

【解析】

试题（1）由∠ABC=90°和FD⊥AC，得到∠ABF=∠EBF，由∠DEC=∠BEF，得到∠DCE=∠EFB，从而得到△ABC≌△EBF（ASA）；

（2）BD与⊙O相切．连接OB，只需证明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB⊥BD，从而有BD与⊙O相切；

（3）连接EA，EH，由DF为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE，由△ABC≌△EBF，得到AB=BE=1，进而得到CE=AE=，故，即可得出结论，

又因为BH为角平分线，易证△EHF为等腰直角三角形，故，得到，再由△GHF∽△FHB，得到．

试题解析：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，∵FD⊥AC，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF，∵∠DEC=∠BEF，∴∠DCE=∠EFB，∵BC=BF，∴△ABC≌△EBF（ASA）；

（2）BD与⊙O相切．理由：连接OB，∵DF是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴BD=CD，∴∠DCE=∠DBE，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠DCE=∠EFB，∴∠DBE=∠OBF，∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∴OB⊥BD，∴BD与⊙O相切；

（3）连接EA，EH，∵DF为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∵△ABC≌△EBF，∴AB=BE=1，∴CE=AE=，∴，∴，又∵BH为角平分线，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF为等腰直角三角形，∴，∴，∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF，∴△GHF∽△FHB，∴，∴，∴．