Question

如图，抛物线y＝－x ²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为y＝－x＋3．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点P(m，0)是线段OB上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，交抛物线于E，EF∥x轴，交直线BC于F，DG∥x轴，FG∥y轴，DG与FG交于点G．设四边形DEFG的面积为S，当m为何值时S最大，最大值是多少？

(3)在坐标平面内是否存在点Q，将△OAC绕点Q逆时针旋转90°，使得旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线上．若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝－x 2＋2x＋3 （2）当m＝ 时，S有最大值 （3）存在符合条件的点Q，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）

【解析】试题（1）先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求得抛物线的解析式；

（2）由P坐标可表示D、E点坐标，进而表示出DE长，由二次函数的最值可求得当DE去最大值时m的值，由于四边形DEFG为正方形，所以面积为DE 2，即可求得S的最大值；

（3）分两种情况讨论：①当点A′、C′ 落在抛物线上时；②当点O′、C′ 落在抛物线上时，

即可求得点Q的坐标.

试题解析：（1）在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∵抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过B、C两点

∴

解得

∴抛物线的函数表达式为y＝－x 2＋2x＋3；

（2）∵P（m，0），PD∥y轴交直线BC于D，交抛物线于E

∴D（m，－m＋3），E（m，－m 2＋2m＋3）

∴DE＝－m 2＋2m＋3－( －m＋3 )＝－m 2＋3m＝－( m－ )2＋

∴当m＝ 时，DE有最大值 ，

由题意可知四边形DEFG为矩形

∵OB＝OC＝3，

∴∠DBP＝∠BDP＝∠EDF＝∠EFD＝45°

∴DE＝EF∴四边形DEFG为正方形

∴S＝DE 2

∴当m＝ 时，S有最大值 ；

（3）如图所示，有两种情况：

①当点A′、C′ 落在抛物线上时

由O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3

设A′（a，－a 2＋2a＋3），则C′（a－3，－a 2＋2a＋4）

∴－a 2＋2a＋4＝－( a－3 )2＋2( a－3 )＋3

解得a＝，∴A′（， ）

作QN⊥x轴于N，A′M⊥QN于M，连接QA、QA′

则∠AQA′＝90°，可证△QAN≌△A′QM

设Q（x，y），则QM＝AN＝x＋1

A′M＝QN＝y＝x＋1＋ ＝ －x

解得x＝，y＝

∴Q1（ ， ）

②当点O′、C′ 落在抛物线上时

则O′、C′ 两点关于抛物线的对称轴对称，易知抛物线的对称轴为直线x＝1，

由O′C′＝OC＝3，可知C′（－， ），

作QN⊥O′C′ 于N，CM⊥QN于M，连接QC、QC′

则∠CQC′＝90°，

可证△CQM≌△QC′N，

设Q（x，y），则QM＝C′N＝x＋

CM＝QN＝y－ ＝x＝3－( x＋ )－

解得x＝，y＝

∴Q2（ ， ）

综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）