Question

如图，直线l分别交AB,CD于点M,N(点M在点N的右侧)，若∠1=∠2

(1)求证:AB//CD；

(2)如图，点E、F在AB，CD之间，且在MN的左侧，若∠MEF+∠EFN=255°，求∠AME+∠FNC的度数；

(3)如图,点H在直线AB上,且位于点M的左侧;点K在直线MN上,且在直线AB的上方.点Q在∠MND的角平分线NP上，且∠KHM=2∠MHQ，若∠HQN+∠HKN=75°，直接写出∠PND和∠QHB的数量关系.

Answer

（1）见解析；（2）∠AME+∠FNC=75°；（3）∠PND－∠QHB=25°或3∠PND－∠QHB=75°

【解析】

（1）根据平行线的判定证出∠2=∠AMF即可；

（2）如图，过E，F分别作EH∥AB，FK∥AB，可得AB∥EH∥FK∥CD，根据平行线的性质即可求解；

（3）分两种情况考虑：HQ在∠KHM内和在∠KHM外，根据平行线的性质和三角形外角的性质分别求出结论即可.

（1）证明：∠1=∠AMF

又∠1=∠2

∴∠2=∠AMF

∴AB∥CD

（2）如图，过E，F分别作EH∥AB，FK∥AB

又AB∥CD ∴AB∥EH∥FK∥CD

∴∠HEF+∠EFK=180°

又∠MEF+∠EFN=255°

∴∠MEH+∠KFN=75°，

∵AB∥EH

∴∠MEH=∠AME，

∵ FK∥CD

∴∠FNC=∠KFN

∴∠AME+∠FNC=75°；

（3）∠PND－∠QHB=25° 或3∠PND－∠QHB=75°

过Q作QO∥AB，则QO∥AB∥CD

∴∠KMB=∠MND=2∠PND，∠OQN=∠PND，∠OQH=∠MHQ

∴∠HQN=∠PND+∠MHQ

∠HKN=∠KMB-∠KHM=2∠PND-2∠MHQ

∵∠HQN+∠HKN=75°，

∴2∠PND-2∠MHQ+∠PND+∠MHQ=75°，即3∠PND－∠QHB=75°；

如图，∠HKN=∠KMB-∠KHM=2∠PND-2∠MHQ

∠HOM=∠OMB-∠MHQ=2∠PND-∠MHQ

∠HQN=∠HOM-∠MNB=∠HOM-∠PND=2∠PND-∠MHQ-∠PND=∠PND-∠MHQ

∵∠HQN+∠HKN=75°，

∴∠PND-∠MHQ+2∠PND-2∠MHQ=75°，即∠PND－∠QHB=25°.

故答案为：（1）见解析；（2）∠AME+∠FNC=75°；（3）∠PND－∠QHB=25°或3∠PND－∠QHB=75°．