Question

如图，点P为直径BA延长线上一点，D为圆上一点，BH⊥PD于H，BD恰好平分∠PBH，BH交⊙O于C，连接CD，OD．

（1）求证：PD为⊙O的切线；

（2）若CD=2，∠ABD=30°，求⊙O的直径．

Answer

(1)见解析；（2）⊙O的直径的长为4．

【解析】

（1）利用∠1=∠3，∠1=∠2，得到∠2=∠3，则可证明BH∥OD，利用平行线的性质得到OD⊥PH，从而证得PD为⊙O的切线；

（2）连接OC，如图，先证明△OCB为等边三角形得到∠BOC=60°，再利用平行线的性质得到∠BOD=120°，所以∠DOC=60°，然后判定△OCD为等边三角形，则OD=CD=2，从而得到⊙O的直径的长．

（1）证明：∵OB=OD，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴BH∥OD，

∵BH⊥PH，

∴OD⊥PH，

∵D为圆上一点，

∴PD为⊙O的切线；

（2）【解析】
连接OC，如图，

∵∠1=30°，

∴∠2=∠3=30°，

∴∠OBC=60°，

∴△OCB为等边三角形，

∴∠BOC=60°，

∵BC∥OD，

∴∠BOD=180°-∠OBC=120°，

∴∠DOC=60°，

而OC=OD，

∴△OCD为等边三角形，

∴OD=CD=2，

∴⊙O的直径的长为4．