Question

李老师是我区“IDJP”课题研究的主要成员之一，一天他在视频微课中提出了以下问题：如图，AB，CD为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF折叠，使B与圆心M重合，折痕EF与AB相交于N连结AE，AF．李老师提出两个猜想和一个问题，请你证明或解答出来：

①四边形MEBF是菱形；

②△AEF为等边三角形；

③求S_△AEF：S_圆．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）S△AEF：S圆=3：4π．

【解析】

①由折叠的性质可得出BN=MN，∠BNF=∠MNF，结合∠BNF+∠MNF=180°可得出BM⊥EF，由垂径定理可得出EN=FN，由BN，EF互相平分可得出四边形MEBF是平行四边形，再由BN⊥EF可证出四边形MEBF是菱形；

②由菱形的性质可得出∠EBF=∠EMF，由圆周角定理及圆内接四边形的性质可求出∠EAF=60°，由AN=AN，∠ANE=∠ANF，EN=FN可得出△AEN≌△AFN（SAS），利用全等三角形的性质可得出AE=AF，结合∠EAF=60°可证出△AEF为等边三角形；

③设圆M的半径为r，则AN=r，EF=r，利用三角形及圆的面积公式可求出S△AEF，S圆的值，进而可求出S△AEF：S圆的值．

①证明：由折叠的性质可知：BN=MN，∠BNF=∠MNF，

∵∠BNF+∠MNF=180°，

∴∠BNF=90°，即BM⊥EF．

∵点M为圆心，EF为⊙M的弦，BM⊥EF，

∴EN=FN，

∴四边形MEBF为平行四边形，

又∵BN⊥EF，

∴四边形MEBF是菱形；

②证明：由①可知：∠EBF=∠EMF．

∵∠EMF=2∠EAF，∠EBF+∠EAF=180°，

∴∠EAF=60°．

在△AEN和△AFN中，，

∴△AEN≌△AFN（SAS），

∴AE=AF，

∴△AEF为等边三角形；

③【解析】
设圆M的半径为r，则AM=MF=r，MN=r，FN==r，

∴EF=2FN=r，

∴S△AEF=EF•AN=r2．

∴S圆=πr2，

∴S△AEF：S圆=3：4π．