Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ与PQ之间的数量关系是（     ）  

A. AQ＝PQ B. AQ＝3PQ C. AQ＝PQ D. AQ＝4PQ

Answer

B

【解析】

如图,作点A关于BC的对称点A′,连接A′D交BC于点P,此时PA+PD最小。作DM∥BC交AC于M，交PA于N.

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴DE∥AC，

∵AD=DB，

∴CE=EB，

∴DE=AC=CA′，

∵DE∥CA′，

∴EPPC=DECA′=，

∵DM∥BC，AD=DB，

∴AM=MC，AN=NP，

∴DM=BC=CE=EB,MN=PC，

∴MN=PE，ND=PC，

在△DNQ和△CPQ中，

，

∴△DNQ≌△CPQ，

∴NQ=PQ，

∵AN=NP，

∴AQ=3PQ.

故选：B.