Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若 ，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

Answer

（1）见解析；（2）S阴影＝4π﹣8.

【解析】

（1）连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF．得证；

（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

（1）证明：连接AD，OD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴D是BC的中点，

∵O是AB的中点，

∴OD∥AC，

∴∠ODF+∠DFA＝180°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA＝90°．

∴∠ODF＝90°．

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE，

∵∠ADB＝∠ADC＝90°，∠DFC＝∠DFA＝90°，

∴∠DAC＝∠CDF＝5°，

∵AB＝AC，D是BC中点，

∴∠BAC＝2∠DAC＝2×22.5°＝45°，

∵OA＝OE，

∴∠OEA＝∠BAC＝45°．

∴∠AOE＝90°，

∵AE＝4，

∴OA＝OE＝4．

S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．