Question

已知直线MN是线段BC的垂直平分线，垂足为O，P为射线OM上的一点，连接BP，PC．将线段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ（PQ与PC不重合），旋转角为α（0°＜α＜180°）直线CQ交MN与点D．

（1）如图1，当α＝30°，且点P与点O重合时，∠CDM的度数是　   　；

（2）如图2，且点P与点O不重合．

①当α＝120°时，求∠CDM的度数；

②用含α的代数式表示∠CDM的度数．

Answer

（1）75°；（2）①∠CDM＝30°，②.

【解析】

（1）由中垂线的性质就可以得出BO=CO，由旋转的性质可以出PQ=OB=PC，由三角形外角与内角的关系就可以得出∠C=15°，在△PDC中可以求出∠CDM的结论；

（2）①由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM的值．

②由轴对称的性质可以得出△PBD≌△PCD，就有∠PBD=∠PCD，∠PDB=∠PDC，就可以得出∠PQC+∠PQD=180°，得出∠PQD+∠PBD=180°，由四边形的内角和就可以得出∠BPQ+∠BDC=180°，进而就可以得出∠CDM=（180°-a）=90°-．

（1）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴BO＝CO，∠COD＝90°．

∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ

∴PB＝PC＝PQ．

∴∠Q＝∠C．

∵∠Q+∠C＝∠BPQ＝30°，

∴∠C＝15°，

∴∠C+∠CDM＝90°，

∴∠CDM＝75°；

（2）如图2，

∵直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴PB＝PC，BD＝CD．

∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ

∴PB＝PC＝PQ．

∴∠PQC＝PCQ．

在△PBD和△PCD中，

，

∴△PBD≌△PCD（SSS），

∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，

∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．

∵∠PQC+∠PQD＝180°，

∴∠PQD+∠PBD＝180°．

∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，

∴∠BPQ+∠BDC＝180°．

∵∠BPQ＝120°，

∴∠BDC＝60°．

∵∠PDB＝∠PDC，

∴∠PDC＝30°．

即∠CDM＝30°；

（3）∵直线MN是线段BC的垂直平分线，

∴PB＝PC，BD＝CD．

∵段PB绕点P逆时针旋转，得到线段PQ

∴PB＝PC＝PQ．

∴∠PQC＝PCQ．

在△PBD和△PCD中，

，

∴△PBD≌△PCD（SSS），

∴∠PBD＝∠PCD，∠PDB＝∠PDC，

∴∠PBD＝∠PCD＝∠PQC．

∵∠PQC+∠PQD＝180°，

∴∠PQD+∠PBD＝180°．

∵∠PBD+∠BDQ+∠DQP+∠BPQ＝360°，

∴∠BPQ+∠BDC＝180°．

∵∠BPQ＝a，

∴∠BDC＝180°﹣a．

∵∠PDB＝∠PDC，

∴∠PDC＝90°﹣，

即∠CDM＝90°﹣．