Question

如图，已知一次函数y=x+1的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点：抛物线y=x²+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D的坐标为（1，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）求该抛物线的解析式；

（3）求四边形BDEC的面积S；

（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（0，1）；（2）y=x2-x+1；（3）4.5；（4）点P的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）.

【解析】

（1）在一次函数y=x+1中，令x=0，即可求出点B的坐标；

（2）将点B、D的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值，即可求出二次函数的解析式；

（3）两解析式联立方程求得B、C的坐标，令y=x2-x+1=0，求得D、E的坐标，然后根据梯形和三角形的面积公式求得即可；

（4）设P（x，0），求得PB2=x2+1，PC2=（x-4）2+9，BC2=42+（3-1）2=20，然后分三种情况分别讨论求得即可．

（1）∵一次函数y=x+1与y轴的交点为B，

令x=0，可得y=1，

∴B（0，1）；

（2）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x2+bx+c得，

，

解得：，

∴解析式为：y=x2-x+1；

（3）∵二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，

∴，

解得：，，

∴C（4，3），

解x2-x+1=0，得x=1和x=2，

∴D（1，0），E（2，0），

∴S=（1+3）×4-×1×1-（4-2）×3=4.5；

（4）设P（x，0），

∵B（0，1），C（4，3），

∴PB2=x2+1，PC2=（x-4）2+9，BC2=42+（3-1）2=20，

①当∠PBC=90°时，则PB2+BC2=PC2，

即x2+1+20=（x-4）2+9，

解得x=，

∴P1（，0）；

②当∠PCB=90°时，则PC2+BC2=PB2，

即x2+1=（x-4）2+9+20，

解得x=，

∴P2（，0）；

③当∠BPC=90°时，则PB2+PC2=BC2，

即x2+1+（x-4）2+9=20，

解得x=1或x=3，

∴P3（1，0），P4（3，0）；

∴在x轴上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）．