Question

如图，已知梯形ABCD中，AD//BC ，∠ABC=90°，BC=2AB=8，对角线AC平分∠BCD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交边AB的延长线于点F，联结CF．

（1）求腰DC的长；

（2）求∠BCF的余弦值．

Answer

(1)5;(2) .

【解析】

（1）根据勾股定理求出AC，求出CE，解直角三角形求出DE，根据勾股定理求出DC即可；

（2）根据相似三角形的性质和判定求出AF，求出CF，解直角三角形求出即可．

（1）∵∠ABC=90°，BC=2AB=8，∴AB=4，．

∵AD//BC ， ∴．

∵AC平分∠BCD，∴． ∴．

∴AD=CD．

∵DE⊥AC，∴．

在Rt△中，，．

在Rt△中，，．

∵，∴，．

∴．即腰DC的长是5．

（2）设DF与BC相交于点Q，

∵，，∴．

∵，∴△∽△．∴．

∵，，∴，即．

∵，，∴．

在Rt△中，，∴.

即的余弦值是．