Question

如图，已知△ABC，AB=，，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD， 以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．

（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）如果E是的中点，求的值；

（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长 ．

Answer

(1) (0≤x≤3); (2) ; (3) BD的长是1或.

【解析】

（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度．联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在Rt△ADF中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式．

（2）由勾股定理求得：AC=．设DF与AE相交于点Q，通过解Rt△DCQ和Rt△AHC推知．故设DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案．

（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：①当AF∥DC、②当AD∥FC．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答．

（1）过点作AH⊥BC，垂足为点H．

∵∠B=45°，AB=，∴．

∵BD为x，∴．

在Rt△中，，∴．

联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度．

∵点F在圆A上，且AF⊥AD，∴，．

在Rt△中，，∴．

∴． ;

（2）∵E是的中点，∴，平分．

∵BC=3，∴．∴．

设DF与AE相交于点Q，在Rt△中，，．

在Rt△中，，．

∵，∴．

设，，

∵，，∴．

∵，∴．

（3）如果四边形ADCF是梯形

则①当AF∥DC时，．

∵，∴，即点D与点H重合． ∴．

②当AD∥FC时，．

∵，∴．

∵，∴．

∴∽．∴．

∵，．

∴．即,

整理得 ，解得 （负数舍去）．

综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或．