Question

数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.

设,

则

即：

事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?

计算:

某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.

Answer

（1）3；（2）；（3）

【解析】

设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.

参照题目中的解题方法进行计算即可.

由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值

设塔的顶层共有盏灯，由题意得

.

解得，

顶层共有盏灯.

设,

,

即：

.

即

由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n项，

根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为

所有项数的和为

由题意可知：为2的整数幂，只需将−2−n消去即可，

则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，

②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有 满足，

③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有 满足，

④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解得：n=29,总共有 不满足，

∴