Question

已知抛物线y=ax²+bx+3与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y=ax²+bx+3的y与x的部分对应值如下表：

x	…	﹣1	0	1	3	4	…
y	…	8		0	0		…

（1）抛物线的对称轴是 _________ ．点A（ ______， ____），B（ _____， _____）；

（2）求二次函数y=ax²+bx+3的解析式；

（3）已知点M（m，n）在抛物线y=ax²+bx+3上，设△BAM的面积为S，求S与m的函数关系式、画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？

Answer

（1）x=2，A（0，3），B（4，3）；

（2）y=x2-4x+3；

（3）S=，S不存在最大值，从图象可知：当m＜0或m＞4时，S的值可以无限大．

【解析】

试题（1）利用当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是直线x=2，再利用x=0时，y=3，则点A（ 0，3 ），即可得出B点坐标；

（2）根据图象过（1，0），（3，0）则设抛物线为y=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入可得出a的值，进而得出解析式；

（3）当0＜m＜4时，点M到AB的距离为3-n，当m＜0或m＞4时，点M到直线AB的距离为n-3，利用三角形面积得出S与m的函数关系式，利用图象得出S是否存在最大值．

试题解析：（1）根据当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是：直线x=2，

∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点为A，

∴x=0时，y=3，则点A（0，3），故B（4，3）；

（2）图象过（1，0），（3，0），

设抛物线为y=a（x-1）（x-3），

把（0，3）代入可得：3=a（0-1）（0-3），

解得：a=1，

故二次函数y=ax2+bx+3的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3；

（3）如图1，

∵AB∥x轴，AB=4，

当0＜m＜4时，点M到AB的距离为3-n，

∴S△ABM=（3-n）×4=6-2n，

又∵n=m2-4m+3，S1=-2m2+8m，

∴当m＜0或m＞4时，点M到直线AB的距离为n-3，S2=×4（n-3）=2n-6，

而n=m2-4m+3，S2=2m2-8m，

S=，

故函数图象如图2（x轴上方部分）所示，S不存在最大值，从图象可知：当m＜0或m＞4时，S的值可以无限大．