Question

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以

AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

⑴如图1，当点D在边BC上时，

求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；

⑵如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；

⑶如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

Answer

⑴①证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°

∵∠DAF=60°

∴∠BAC=∠DAF

∴∠BAD=∠CAF

∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF

∴△ABD≌△ACF

∴∠ADB=∠AFC

②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．

⑵结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．

∠AFC、，∠ACB、∠DAC之间的等量关系是

∠AFC=∠ACB－∠DAC（或这个等式的正确变式）

证明：∵△ABC为等边三角形

∴AB=AC

∠BAC=60°

∵∠BAC=∠DAF

∴∠BAD=∠CAF

∵四边形ADEF是菱形

∴AD=AF．

∴△ABD≌△ACF

∴∠ADC=∠AFC

又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB－∠DAC

⑶补全图形如下图

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是

∠AFC=2∠ACB－∠DAC

（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．

【解析】略