Question

如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，联结AP并延长AP交CD于F点，

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）如果PA=PC，联结BP，求证：△APB△EPC．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由折叠的性质得到EC垂直平分BP，根据E为AB中点，得到AE=EB，根据EQ为△ABP的中位线，得出AF∥EC即可；

（2）由翻折性质∠EPC=∠EBC=，∠PEC=∠BEC，再求出△AEP为等边三角形即可求解.

【解析】
（1）证明：由折叠得到EC垂直平分BP，

设EC与BP交于Q，∴BQ=EQ

∵E为AB的中点， ∴AE=EB，

∴EQ为△ABP的中位线，∴AF∥EC，

∵AE∥FC， ∴四边形AECF为平行四边形；

（2）∵AF∥EC，∴∠APB=∠EQB=90°

由翻折性质∠EPC=∠EBC=90°，∠PEC=∠BEC

∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP=EP，

∴△AEP为等边三角形 , ∠BAP=∠AEP=60°，

在△ABP和△EPC中， ∠BAP=∠CEP，∠APB=∠EPC，AP=EP

∴△ABP≌△EPC（AAS），