Question

如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中.

（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；

（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度；

（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标.

Answer

（1），；（2）CD=或；（3）的坐标为或或或.

【解析】

（1）将A、C坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得a、b、c的值，求得抛物线解析式;

（2）求出直线BC的解析式为，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;

（3）设点P的坐标，分别以B、C、P为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理得到方程式进行求解.

【解析】
（1）根据对称轴x=-1,A（1,0），得出B为(-3,0)

依题意得：，解之得：，

∴抛物线的解析式为.

（2）∵对称轴为，且抛物线经过，∴

∴直线BC的解析式为. ∠CBA=45°

∵直线BD和直线BC的夹角为15º， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°

在△BOD，，BO=3

∴DO=或，∴CD=或.

（3）设，又，，

∴，，，

①若点为直角顶点，则即：解之得：，

②若点为直角顶点，则即：解之得：，

③若点为直角顶点，则即：解之得：

，.

综上所述的坐标为或或或.