Question

如图已知：是圆的直径，，点为圆上异于点、的一点，点为弦的中点.

（1）如果交于点，求：的值；

（2）如果于点，求的正弦值；

（3）如果，为上一动点，过作，交于点，与射线交于圆内点，请完成下列探究.

探究一：设，，求关于的函数解析式及其定义域.

探究二：如果点在以为圆心，为半径的圆上，写出此时的长度.

Answer

（1）；（2）；（3）探究一： （其中）；探究二：.

【解析】

（1）如图1，过点O作ON∥BC交AM于点N，根据三角形的中位线的性质得到ON=BM，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；

（2）如图1，连接OM，根据垂径定理得到OM⊥BC，根据余角的性质得到∠OME=∠MCE，根据相似三角形的性质得到ME2=OE•CE，设OE=x，则CE=2x，ME=x，解直角三角形即可得到结论；

（3）探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，根据平行线的性质得到∠LDB=∠C=∠B，根据等腰三角形的判定定理得到BL=DL，设BD=x，则CD=8-x，BL=DL=x，CH=(8−x)，OH=OC-CH=5-（8-x），根据平行线成线段成比例定理得到y=（其中＜x＜）；

探究二：根据题意得到OF=OD，根据等腰三角形的性质得到DF⊥OC，根据直角三角形的性质得到FO=OL，列方程即可得到结论．

（1）如图1，过点O作ON∥BC交AM于点N，

∵点O是AB的中点，

∴点N是AM的中点，

∴ON=BM，

∵点M为弦BC的中点，

∴BM=CM，

∴ON=CM，

∵ON∥BC，

∴；

（2）如图1，连接OM，

∵点M为弦BC的中点，

∴OM⊥BC，

∵AM⊥OC于点E，

∴∴∠OME+∠CME=∠CME+∠C=90°，

∴∠OME=∠MCE，

∴△OME∽△MCE，

∴ME2=OE•CE，

设OE=x，则CE=2x，ME=x，

在Rt△MCE中，CM==x，

∴sin∠ECM===，

∴sin∠ABC=；

（3）探究一：如图2，过点作于点，

∵DF⊥OC，

∴DL∥OC，

∴∠LDB=∠C=∠B，

∴BL=DL，

∵AB=10，AB：BC=5：4，

设BD=x，则CD=8-x，BL=DL=x，CH=(8−x)，OH=OC-CH=5-（8-x），

∵OH∥DL，

∴=，

∴，

∴y=（其中）；

探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，

∴OF=OD，

∵DF⊥OC，

∴OC垂直平分DF，FO=OL，

∴y=5-x，

∴＝5−x，

解得：x=，

∴BD=．