Question

已知△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF．

（2）试确定点O在边AC上的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．

（3）在（2）的条件下，且△ABC满足______时，矩形AECF是正方形．

Answer

∠BAC=90°

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；

（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；

（3）当△ABC是直角三角形时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．

（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠BCE．

∵MN∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠ACE=∠FEC，∴OE=OC，

同理可证OF=OC，

∴OE=OF；

（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF平行四边形．

∵OE=OC，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，

∴平行四边形AECF是矩形；

（3）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．理由如下：

∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO．

又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．

∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．

∵MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形；

故答案为：∠ACB=90°．