Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知A（6，0），B（8，6），将线段OA平移至CB，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC、AB、CD、BD．

（1）写出点C的坐标；

（2）当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，求点D的坐标；

（3）设∠OCD=α，∠DBA=β，∠BDC=θ，判断α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．

Answer

(1) C(2,6)；(2) D(9,0)(3)α+β=θ或α−β=θ.

【解析】

（1）由点的坐标的特点，确定出FC=2，OF=6，得出C（2，6）；
（2）分点D在线段OA和在OA延长线两种情况进行计算；
（3）分点D在线段OA上时，α+β=θ和在OA延长线α-β=θ两种情况进行计算；

(1)如图1，

∵A(6,0),B(8,6)，

∴FC=AE=8−6=2，OF=BE=6

∴C(2,6)；

(2)设D(x,0)，当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，

若点D在线段OA上，

∵OD=3AD，

∴

∴

∴

若点D在线段OA延长线上，

∵OD=3AD，

∴

∴x=9，

∴D(9,0)

(3)如图2.

过点D作DE∥OC，

由平移的性质知OC∥AB.

∴OC∥AB∥DE.

∴∠OCD=∠CDE，∠EDB=∠DBA.

若点D在线段OA上，

∠CDB=∠CDE+∠EDB=∠OCD+∠DBA，

即α+β=θ；

若点D在线段OA延长线上，

∠CDB=∠CDE−∠EDB=∠OCD−∠DBA，

即α−β=θ.