Question

如图，已知,射线分别和直线交于点，射线分别和直线交于点，点在射线上运动（点与三点不重合），设,,．

（1）如果点在两点之间运动时，之间有何数量关系？请说明理由；

（2）如果点在两点之外运动时，之间有何数量关系？（只需写出结论，不必说明理由）

Answer

（1）γ=α+β（2）详见解析

【解析】分析:(1)过点P作P作PF∥l1因为l1//l2则l2//PF,根据两直线平行,内错角相等即可证明γ=α+β,(2) 过点P作P作PF∥l1因为l1//l2则l2//PF,根据两直线平行,内错角相等进行角度转化再根据三角形外角性质可证明∠β=∠γ+∠α,同理可得,当点P在AN上运动时,∠α=∠γ+∠β.

（1）证明:过点P作l3//l1,

∵l1//l2,

∴l2//l3,

∴γ=α+β.

（2）点P在射线AN上时:γ=α-β,

点P在射线BM上时:γ=β-α.

证明:过点P作l3//l1,

∵l1//l2,

∴l2//l3,

∴γ=α+β.

详解:（1）∠γ=α+∠β,
理由:过点P作PF∥l1（如图1）,

∵l1∥l2,
∴PF∥l2,
∴∠α=∠DPF,∠β=∠CPF,
∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β,

（2）当点P在MB上运动时（如图2）,

∵l1∥l2,

∴∠β=∠CFD,

∵∠CFD是△DFP的外角,
∴∠CFD=∠α+∠γ,
∴∠β=∠γ+∠α,
同理可得,当点P在AN上运动时,∠α=∠γ+∠β.