Question

如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A(a,0)，B(b,0)在坐标轴上，C的纵坐标是2,且a,b满足式子:

(1)求出点A、B、C的坐标．

(2)连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

(3)若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD和∠EOQ之间的数量关系，并证明.

Answer

(1) (2) M的坐标为(0,3)或(0,-3);

(3)∠OPD =2∠EOQ.

【解析】

(1)根据非负数的性质列出关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可求出点A、B、C的坐标．

(2)求出△ABC的面积，根据△COM的面积与△ABC的面积相等，求得OM的长，即可求得M的坐标；

(3) 利用∠BOF，根据平行线的性质，以及角平分线的定义表示出∠OPD和∠EOQ即可求解．

(1)∵，

∴

解得

故a、b的值分别是−2、4；

点A、B、C的坐标分别为：

(2)∵A(−2,0)，B(4,0)，

∴AB=6，

∵C(4,2)，

∴△ABC的面积

∵△COM的面积=△ABC的面积，

∴△COM的面积=6，即

∴

∴M的坐标为(0,3)或(0,-3)

(3) ∵ABCD是长方形，

∴AB∥CD，

∴∠OPD=∠POB.

∵OF⊥OE，

∴

∵OE平分∠AOP，

∴∠POE=∠AOE，

∴∠POF=∠BOF，

∴∠OPD=∠POB=2∠BOF.

∵∠EOQ+∠QOF=∠BOF+∠QOF=

∴∠EOQ=∠BOF，

∴∠OPD=2∠BOF=2∠EOQ.