Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+k²+2k＝0有两个实数根x₁，x₂．

（1）求实数k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使得x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）k≤；（2）存在实数k，k＝﹣3．

【解析】

（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．

【解析】
（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，

解得k≤；

（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，

∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，

即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，

∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，

整理得k2﹣2k﹣15＝0，

解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．

∴k＝﹣3．