Question

如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，平分，交于点．

求证：平分；

求证：是等腰三角形．

Answer

见解析

【解析】

（1）依据切线的性质可知OC⊥DC，然后可证明AD∥OC，依据平行线的性质可得到∠DAC=∠ACO，然后依据OA=OC可证明∠OAC=∠ACO，通过等量代换可证明AC平分∠DAB；
（2）依据直径所对的圆周角等于90°可证明∠ACB=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠DAC=∠BCP，由（1）可知AC平分∠DAB，从而得到∠CAE=∠BCP，然后结合∠ACE=∠ECB可证明∠PCE=∠PEC．

如图所示：连接．

∵切于点，

∴．

又∵，

∴．

∴．

又∵，

∴，

∴，

即平分．

 ∵，

∴．

又∵为的直径，

∴．

∴，

∴．

又∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

即是等腰三角形．