Question

如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，经过点的抛物线上有一动点，且点在直线的下方.

（1）平移直线经过点，得到直线，点为直线上一个动点，连接，当面积最大时，求的最小值.

（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上一点，且点横坐标为6，点在轴上，点在轴上，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）的最小值为；（2）点的坐标为或.

【解析】

（1）设，根据列出函数关系式求出当的面积有最大值时，，求出直线的解析式，过点作轴，易得，然后根据相似三角形的性质得，进而可求出结论；

（2）过作轴，轴，易得且相似比为1：3.然后分点在点的左侧时和点在点的右侧时两种情况求解即可.

（1）设，

，

当时，的面积有最大值.

，

平移直线得到直线，且过点，

易得直线.

过点作轴，

易得，

，

，

.

由图知，，，

当轴时，，重合，

此时有最小值等.

的最小值为.

（2）过作轴，轴，

直线平移后过原点得到直线，

直线，代入.

点坐标为，，.

，

易得且相似比为1：3.

如图乙所示，

点在点的左侧时，设，则.

，

.

.

四边形为矩形，

，，

，，

，.

将点的坐标代入抛物线的解析式得，

，

解得：，（舍去）.

，

如图丙所示：点在点的右侧时，设，

则.

，

.

.

四边形为矩形，

，，

，，

，.

将点的坐标代人抛物线的解析式得，

，

解得：（舍去）或.

.

综上所述，

点的坐标为或.