Question

已知：正方形ABCD，∠EAF＝45°．

（1）如图，当点E、F分别在边BC、CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；

童威同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，所以△ADF≌△ABG．

（2）如图，点M、N分别在边AB、CD上，且BN＝DM．当点E、F分别在BM、DN上，连接EF，探究三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图，当点E、F分别在对角线BD、边CD上．若FC＝2，则BE的长为　   　．

Answer

（1）见解析；（2）EF2＝BE2+DF2，证明见解析；（3）BE＝.

【解析】

（1）按照题目给的思路，由△ADF≌△ABG推出AF=AG，DF=BG，∠DAF=∠BAG，得到∠EAG=∠EAF．注意要证明G、B、E三点共线，才能证得△EAG≌△EAF．把EF转化到EG=BG+BE=DF+BE，得证．
（2）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABH，证明过程跟（1）类似，证得△EAH≌△EAF，把EF转化到EH，然后利用BN=DM证明四边形BMDN为平行四边形得∠ABE=∠FDM，得∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠ADF+∠MDN=90°，由EH2=BE2+BH2得EF2=BE2+DF2．
（3）作为填空题，可把点E、F移动到特殊位置思考，如F与D重合时，则E为BD中点，易得BE=BD，又BD=CD（即CF），得答案为．由∠EAF=∠EDF=45°联想到点A、D、F、E四点共圆，且AF为直径，所以∠AEF=90°，△AEF为等腰直角三角形，故有AE=EF=EC，过点E作EM⊥CF于M即有M为CF中点．考虑到BE为正方形对角线上的一段，过点E作EN⊥BC构造等腰直角△BEN，且EN=CM，则BE=EN=CM=．

（1）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，

∴△ADF≌△ABG,

∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG.

∵正方形ABCD,

∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD，

∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上.

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，

即∠EAG＝∠EAF.

在△EAG与△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴EG＝EF.

∵BE+DF＝BE+BG＝EG，

∴EF＝BE+DF；

（2）EF2＝BE2+DF2，证明如下：

将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，（如图2），

∴△ADF≌△ABH，

∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，

即∠EAH＝∠EAF，

在△EAH与△EAF中，

,

∴△EAH≌△EAF（SAS）,

∴EH＝EF.

∵BN＝DM，BN∥DM,

∴四边形BMDN是平行四边形,

∴∠ABE＝∠MDN,

∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°,

∴EH2＝BE2+BH2，

∴EF2＝BE2+DF2，

（3）作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图3），

∵∠ADF＝90°，

∴AF为⊙O直径.

∵BD为正方形ABCD对角线，

∴∠EDF＝∠EAF＝45°，

∴点E在⊙O上，

∴∠AEF＝90°，

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴AE＝EF.

在△ABE与△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE，

∴CE＝EF.

∵EM⊥CF，CF＝2，

∴CM＝CF＝1，

∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，

∴四边形CMEN是矩形，

∴EN＝CM＝1，

∵∠EBN＝45°，

∴BE＝EN＝，

故答案为：.