Question

嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．

已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=      

求证：四边形ABCD是      四边形．

（1）在方框中填空，以补全已知和求证；

（2）按嘉淇同学的思路写出证明过程；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题.

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，即可得到结论；

（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；

（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．

试题解析：【解析】
（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

（2）证明：连接BD．

在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），

∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：

平行四边形两组对边分别相等．