Question

如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点的坐标；

（3）在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）所求抛物线的函数表达式为；（2）的面积有最大值是，此时点坐标为；（3）存在点坐标为或或或.

【解析】

（1）先根据点B在直线y=x+1求出其坐标，再将A，B坐标代入抛物线解析式求解可得；
（2）作PM⊥x轴于点M，交AB于点N，设点P的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，m+1），依据S△PAB=S△PAN+S△PBN列出函数解析式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）设点Q坐标为（n，0），结合各点坐标得出QA2=（-1-n）2，QB2=（2-n）2+9，AB2=18，再根据等腰三角形的定义分三种情况分别求解可得．

解（1）点在直线上，

，

点坐标为，

点和点在抛物线上，

，

解得，

所求抛物线的函数表达式为；

（2）过点作轴于点，交于点，

设点的横坐标为，

则点的坐标为，

点的坐标为，

点是位于直线上方，

.

的面积

,

抛物线开口向下，又，

当时，

的面积有最大值，

最大值是.

此时点坐标为；

（3）存在点坐标为或或或.