Question

如图已知：正方形OCAB，A（2，2），Q（5，7），AB⊥y轴，AC⊥x轴，OA，BC交于点P，若正方形OCAB以O为位似中心在第一象限内放大，点P随正方形一起运动，当PQ达到最小值时停止运动．以PQ的长为边长，向PQ的右侧作等边△PQD，求在这个位似变化过程中，D点运动的路径长（　　）

A. 5 B. 6 C. 2 D. 4

Answer

A

【解析】

如图，连接OQ，以OQ为边向下作等边△OQH，连接DH，作QE⊥OA交OA的延长线于E．证明△OQP≌△HQD，点D的运动路径的长＝点P的运动路径的长，求出直线OA，EQ的解析式,联立方程求出点E的坐标，求解即可.

【解析】
如图，连接OQ，以OQ为边向下作等边△OQH，连接DH，作QE⊥OA交OA的延长线于E．

∵△OQH，△PQD都是等边三角形，

∴QO＝QH，QP＝QD，∠OQH＝∠PQD＝60°，

∴∠OQP＝∠HQD，

∴△OQP≌△HQD（SAS），

∴OP＝DH，

∴点D的运动路径的长＝点P的运动路径的长，

∵直线OA的解析式为y＝x，Q（5，7），QE⊥OA，

∴直线EQ使得解析式为y＝﹣x+12，

由 解得

∴E（6，6），

∵P（1，1），

∴

根据垂线段最短可知，当点P与点E重合时，PQ的长最短，

∴点P的运动路径的长为

∴点D的运动路径的长为

故选：A．