Question

小红和小明在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点E，探索∠E与∠A，∠C的数量关系．

（一）发现：在如图1中，小红和小明都发现：∠AEC=∠A+∠C；

小红是这样证明的：如图7过点E作EQ∥AB．

∴∠AEQ=∠A（　　）

∵EQ∥AB，AB∥CD．

∴EQ∥CD（　　）

∴∠CEQ=∠C 

∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C  即∠AEC=∠A+∠C．

小明是这样证明的：如图7过点E作EQ∥AB∥CD．

∴∠AEQ=∠A，∠CEQ=∠C

∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C

请在上面证明过程的横线上，填写依据：两人的证明过程中，完全正确的是　　．

（二）尝试：

（1）在如图2中，若∠A=110°，∠C=130°，则∠E的度数为　　；

（2）在如图3中，若∠A=20°，∠C=50°，则∠E的度数为　　．

（三）探索：

装置如图4中，探索∠E与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

（四）猜想：

（1）如图5，∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之间有什么关系？（直接写出结论）

（2）如图6，你可以得到什么结论？（直接写出结论）

Answer

(一) （ 两直线平行，内错角相等）（平行于同一条直线的两直线平行），小明的证法；（二）120°，30°；(三)见解析;(四) （1）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D;(2)见解析.

【解析】

（一）小红、小明的做法，都是做了平行线，利用平行线的性质；（二）的（1）、（四）都可仿照（一），通过添加平行线把分散的角集中起来．

（一）（ 两直线平行，内错角相等），（平行于同一条直线的两直线平行）；

完全正确的是：小明的证法；

（二）尝试：

（1）（1）过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD．∵EF∥AB，

∴∠A+∠AEF=180°，

∵∠A=110°，∴∠AEF=70°．

∵EF∥CD，

∴∠C+∠CEF=180°，

∵∠C=130°，∴∠CEF=50°．

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=70°+50°=120°．

（2）如图，

∵AB∥CD，

∴∠EOB=∠C=50°，

∵∠EOB=∠A+∠E，

∵∠E=∠EOB-∠A=50°-20°=30°．

答案：120°，30°．

（三）∠E=∠EAB−∠C.

理由：延长EA，交CD于点F.

∵AB∥CD，

∴∠EFD=∠EAB.

∵∠EFD=∠C+∠E，

∴∠EAB=∠C+∠E，

∴∠E=∠EAB−∠C.

（四）（1）可通过过点E、F、G分别做AB的平行线，得到结论：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

(2)同上道理一样,可得到结论：∠E1+∠E2+…+∠En=∠F1+∠F2+…∠Fn+∠B+∠D.