Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S_△ABE=S_△CEF其中正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

Answer

B

【解析】

由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S△FCD=S△ABC，由△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，得出S△ABE=S△CEF．④正确；③无法证明得到．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAD=∠AEB，

又∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∵AB=AE，

∴△ABE是等边三角形；

②符合题意；

在△ABC和△EAD中

∴△ABC≌△EAD（SAS）；

①符合题意；

∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），

∴S△FCD=S△ABC，

又∵△AEC与△DEC同底等高，

∴S△AEC=S△DEC，

∴S△ABE=S△CEF；④符合题意．

若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC

即EC=CD=BE

即BC=2CD，

题中未限定这一条件

∴③不符合题意；

∴①②④符合题意，

故选：B．