Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、∠B=30°，证明过程见解析；(3)、不可能，理由见解析.

【解析】

试题根据DF为垂直平分线得出BD=CD，DF⊥BC，根据∠ACB=∠BDF=90°得出DF∥AC，则BE=AE，则AE=CE，∴∠1=∠2，得到△ACE≌△EFA，即AC=EF，从而得到平行四边形；当∠B=30°时，AC=AB，CE=AB，从而得到AC=CE，得到菱形；根据CE在△ABC内部，∠ACE＜∠ACB=90°，则不可能为正方形.

试题解析：（1）证明：∵DF是BC的垂直平分线 ∴DF⊥BC，DB=DC

∴∠ACB=∠BDF=90° ∴DF∥AC ∴BE=AE ∴AE=CE=AB ∴∠1=∠2

∵EF∥BC，AF＝CE=AE ∴∠1=∠2＝∠3=∠F ∴△ACE≌△EFA ∴AC=EF

∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）、当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形.证明如下：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝30° ∴AC=AB ∵CE=AB ∴AC=CE

∴四边形ACEF是菱形

（3）、四边形ACEF不可能是正方形，理由如下：由（1）知E是AB的中点

∴CE在△ABC内部，∴∠ACE＜∠ACB=90° ∴四边形ACEF不可能是正方形