Question

如图，直线EF与⊙O相切于点C，点A为⊙O上异于点C的一动点，⊙O的半径为4，ABEF于点B，设ACF=α(0°＜α＜180°).

（1）若α=，求证：四边形OCBA为正方形；

（2）若AC―AB=1，求AC的长；

（3）当AC―AB取最大值时，求α的度数.

Answer

（1）见解析；（2）AC=；（3）∠α=或

【解析】

（1）连接OA，OC，证△ABC是等腰直角三角形，△OAC是等腰直角三角形，再证四边形OCBA为矩形

由OA=OC，得四边形OCBA为正方形；（2）作OHAB，设AC=x,则AB=x-1，由勾股定理得，在Rt△OAH中，，在Rt△OEC中，，；（3）根据锐角三角函数和相似三角形性质可得出差的函数解析式，再求最值.

【解析】
（1）连接OA，OC

∵α=，ABEF

∴△ABC是等腰直角三角形

∵EF与⊙O相切于C

∴∠OCB=

∴∠OCA=

∴△OAC是等腰直角三角形

∴∠OCB=∠CBA=∠COA=900

∴四边形OCBA为矩形

∵OA=OC

∴四边形OCBA为正方形

（2）如图，作OH⊥AB，

设AC=x,则AB=x-1

∵在Rt△OAH中，

又∵在Rt△OEC中，

∴

∴

即：AC=

（3）如图，作OH⊥AC,则AC=2CH,设CH=x，AC=2x,

由（1）（2）可得

∴,即

∴AB=

∴AC-AB=y=2x-,∵当x=2时，y最大.

此时，sinα=

∴α=300

同理，当A在OC的左侧时，α=1500，AC-AB的值最大.

∴当AC-AB取最大值时，α=或