Question

如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN的长为______

Answer

【解析】

连接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”证明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，从而有BE=EG=4，DF=FG=6，设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形对角线BD的长，再证明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值．

【解析】
如图，连接GM，GN，

∵AG=AB，AE=AE，∴△AGE≌△ABE，

同理可证△AGF≌△ADF，

∴BE=EG=4，DF=FG=6，

设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6，

由勾股定理，得CE2+CF2=EF2，即（a-4）2+（a-6）2=102，

解得a=12或-2（舍去负值），

∴BD=12，

易证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，

∴MG=BM=3，NG=ND=1-3-MN=9-MN，

∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，

在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG2+NG2=MN2，

即（3）2+（9-MN）2=MN2，

解得MN=5故答案为：5．