Question

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过O点作OD⊥BC，交⊙O的切线CD于点D，交⊙O于点E，连接AC、AE，且AE与BC交于点F．

（1）连接BD，求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AF：EF=2：1，求tan∠CAF的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据已知条件得到AC∥DE，设OD与BC交于G，根据平行线分线段成比例定理得到AC：EG=2：1，EG=AC，根据三角形的中位线的性质得到OG=AC于是得到AC=OE，求得∠ABC=30°，即可得到结论．

证明：（1）∵OC=OB，OD⊥BC，

∴∠COD=∠BOD，

在△COD与△BOD中，

，

∴△COD≌△BOD，

∴∠OBD=∠OCD=90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵AB为⊙O的直径，AC⊥BC，

∵OD⊥CB，

∴AC∥DE，

设OD与BC交于G，

∵OE∥AC，AF：EF=2：1，

∴AC：EG=2：1，即EG=AC，

∵OG∥AC，OA=OB，

∴OG=AC，

∵OG+GE=AC+AC=AC，

∴AC=OE，

∴AC=AB，

∴∠ABC=30°，

∴∠CAB=60°，

∵，

∴∠CAF=∠EAB=∠CAB=30°，

∴tan∠CAF=tan30°=．