Question

已知点A是双曲线 （k₁＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线（k₂＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．

（1）当m＝4时，求△ACD的面积（用含k₁、k₂的代数式表示）；

（2）若点E恰好在双曲线（k₁＞0）上，求m的值；

（3）设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为D（2，0）时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k₁的值，并直接写出线段CF的长．

Answer

（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由于A、C的横坐标相同，则AC的长即为A、C的纵坐标之差，根据m=4，可求出BD的长，进而的得出三角形的面积；

（2）作EG⊥x轴于点G，判断出△DEG∽△DAB，再根据A，B，D三点的坐标分别为A（1，k1），B（1，0），D（m，0），以及G为BD的中点，求出E的表达式，代入反比例函数解析式，即可求出m的值；

（3）根据S△BDF=1，求出OF=2，将点B，点E的坐标分别代入解析式，求出直线BE的解析式为y=k1x-k1．再求出AD的解析式，根据平行直线的性质求出FC的解析式，得到C点坐标，从而求出F点的坐标．

（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k1），C（1，k2）．（如图1）

∵k1＞0，k2＜0，

∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC=k1-k2．

当m=4时，S△ACD＝AC•BD＝ (k1−k2)．

（2）作EG⊥x轴于点G．（如图2）

∵EG∥AB，AD的中点为E，

∴△DEG∽△DAB，，G为BD的中点．

∵A，B，D三点的坐标分别为A（1，k1），B（1，0），D（m，0），

∴EG＝，BG＝，OG＝OB+BG＝．

∴点E的坐标为E(，)．

∵点E恰好在双曲线y＝上，

∴•＝k1．①

∵k1＞0，

∴方程①可化为＝1，

解得m=3．

（3）当点D的坐标为D（2，0）时，由（2）可知点E的坐标为E(，)．（如图3）

∵S△BDF=1，

∴S△BDF＝BD•OF＝OF＝1．

∴OF=2． 

设直线BE的解析式为y=ax+b（a≠0）．

∵点B，点E的坐标分别为B（1，0），E(，)，

∴

解得 a=k1，b=-k1．

∴直线BE的解析式为y=k1x-k1．

∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k1＞0，

∴点F的坐标为F（0，-k1），OF=k1．

∴k1=2．

∵A点坐标为（1，2），D点坐标为（2，0），

∴设一次函数解析式为y=kx+b，

将A（1，2），D（2，0）分别代入解析式得，

，

解得，

故函数解析式为y=-2x+4，

又∵AD∥FC，

设FC的解析式为y=-2x+c，

将F（0，-2）代入解析式得，c=-2，

故函数解析式为y=-2x-2．

当x=1时，k2=-4．

C点坐标为（1，-4），

故线段CF=．