Question

已知二次函数的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=．

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；

（3）是否存在实数、（），当时，y的取值范围为？若存在，直接写在、的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）Q（，）或（，）；（3），．

【解析】

试题（1）由tan∠ACO=，求出OA的值，即可得出A点的坐标；然后把A点的坐标代入，求出b的值，即可得出二次函数的解析式．

（2）由Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的值，进而得出Q点坐标即可．

（3）根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数、（），当时，y的取值范围为即可．

试题解析：（1）如图1，连接AC，

，

∵二次函数的图象与y轴的交点为C，∴C点的坐标为（0，﹣4），∵tan∠ACO=，∴，又∵OC=4，∴OA=1，∴A点的坐标为（1，0），把A（1，0）代入，可得0=1+b﹣4，解得b=3，∴二次函数的解析式是：；

（2）如图2，

，

∵，

∴抛物线的对称轴是：，∵Q为抛物线对称轴上的一点，∴设点Q的坐标为（，n），∵抛物线的对称轴平行于y轴，∴∠CQP=∠OCQ，又∵∠OQC=∠CQP，∴∠OQC=∠OCQ，∴OQ=OC，∴，∴，解得n=，∴Q点坐标是（，）或（，）．

（3）①当时，二次函数单调递减，∵y的取值范围为，∴，由，解得=﹣3，﹣2，2，由，解得=﹣3，﹣2，2，∵，∴；

②当时，

Ⅰ、当时，可得，∵y的取值范围为，

∴，由①，可得，由②，可得=﹣3，﹣2，2，∵，，∴没有满足题意的、；

Ⅱ、当时，可得，∵y的取值范围为，

∴，解得：，∵≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，∴没有满足题意的、．

③当时，二次函数单调递增，∵y的取值范围为，∴，①×﹣②×，可得：，∵≠0，∴=0，∴③，把③代入①，可得：，∵，∴，∴，∵，∴没有满足题意的、．

综上，可得：，，当时，y的取值范围为．