Question

如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE=OB，DE⊥ON于E，AD=AO，DC⊥OM于C．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若DE=3，OE=9，求AB、AD的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）AB、AD的长分别为3和5．

【解析】

（1）证Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）得∠AOB=∠DAE，AD∥BC．证四边形ABCD是平行四边形，又，故四边形ABCD是矩形；（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，AB=DE=3．设AD=x，则OA=x，AE=OE－OA=9－x．在Rt△DEA中，由得：.

（1）证明：∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，

∴.

在Rt△ABO与Rt△DEA中，

∵∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）．

∴∠AOB=∠DAE．∴AD∥BC．

又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵，∴四边形ABCD是矩形；

（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB=DE=3．

设AD=x，则OA=x，AE=OE－OA=9－x．

在Rt△DEA中，由得：

，解得．

∴AD=5．即AB、AD的长分别为3和5．