Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）连接DG，若AC∥EF时．

①求证：△KGD∽△KEG；

②若cosC=，AK=，求BF的长．

Answer

（1）详见解析；（2）①详见解析；②.

【解析】

（1）连接OG，由EG=EK知∠KGE=∠GKE=∠AKH，结合OA=OG知∠OGA=∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG=90°，从而得出∠KGE+∠OGA=90°，据此即可得证；

（2）①由AC∥EF知∠E=∠C=∠AGD，结合∠DKG=∠GKE即可证得△KGD∽△KEG；

②连接OG，由 设CH=4k，AC=5k，可得AH=3k，CK=AC=5k，HK=CK-CH=k．利用AH2+HK2=AK2得k=1，即可知CH=4，AC=5，AH=3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2=OC2可求得 ，根据 知 ，从而得出答案．

【解析】
（1）如图，连接OG．

∵EG=EK，

∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，

又OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∴EF是⊙O的切线．

（2）①∵AC∥EF，

∴∠E=∠C，

又∠C=∠AGD，

∴∠E=∠AGD，

又∠DKG=∠GKE，

∴△KGD∽△KEG；

②连接OG，

∵，AK=，

设，

∴设CH=4k，AC=5k，则AH=3k

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5k，

∴HK=CK-CH=k．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即，

解得k=1，

∴CH=4，AC=5，则AH=3，

设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R-3，CH=4 ，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（R-3）2+42=R2，

∴，

在Rt△OGF中，，

∴，

∴．

故答案为：（1）详见解析；（2）①详见解析；②