Question

苏科版九年级下册数学课本91页有这样一道习题：

（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：

①可以假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF；请结合提示写出完整的证明过程．

②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似．证明过程如下：

 

（2）交流后小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下提出了新的问题，请你解答：

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）

①求证：△AEF∽△ECF；

②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）①见解析；②当a＝时，△AEF与△BFC相似

【解析】

（2）由∠AEF＝∠DCE，∠A＝∠D＝90°，可证△AEF∽△DEC，得，再由AE＝ED，得，证得△AEF∽△EFC．

②由题意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝，故BF＝a－．分两种情况：若△AEF∽△BFC则；若△AEF∽△BCF，则．分别求解可得.

（1）①证明：假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，

在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°．

＝2，∠A＝∠D＝90°．

∴△ABE∽△DEF．

（2）①证明：∵∠D＝90°，∴∠D EC＋∠DCE＝90°

∵EF⊥EC，∴∠D EC＋∠AEF＝90°

∴∠AEF＝∠DCE，又因为∠A＝∠D＝90°

∴△AEF∽△DEC

∴，∵AE＝ED,

∴，即，∵∠A＝∠BEF＝90°

∴△AEF∽△EFC．

②由题意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝，故BF＝a－．

若△AEF∽△BFC

则，此时a无解；

若△AEF∽△BCF

则 ，此时a＝．

所以，当a＝时，△AEF与△BFC相似．