Question

如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②S_▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC＝：6； ④S_▱OEF＝S_▱ABCD，成立的是_____．

Answer

①②③

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6；故③正确；根据相似三角形的性质得到＝=2，求得S△OCF=2S△OEF，所以S△OEF=S△OEC，又因为OE=BC=AD，S△OEC= S△OEB，所以S△OEC= S△OEB=S△ABD=S ▱ABCD，可得：S△OEF=×S ▱ABCD=，故④不正确．

【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=BC，
∴OE：AC=BC：BC，
∴OE：AC=：6；故③正确；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴==2:1 ，
∴S△OCF：S△OEF==2，
∴S△OCF=2S△OEF，

∴S△OEF=S△OEC，

又∵OE=BC=AD，S△OEC= S△OEB，

∴ S△OEC= S△OEB=S△ABD=S ▱ABCD，

即S△OEF=×S ▱ABCD=，

故④不正确．
故答案为：①②③．