Question

如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．

（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝　   　；

（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝　   　；

（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．

Answer

（1）(1)45°；（2）45°；（3）∠C不随点A，B的移动而发生变化，理由详见解析.

【解析】

(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ABN, 再根据角平分线的定义求出∠ABE和∠BAC, 然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解;

(2)与(1)方法相同求解可得答案;

(3)与(1)的思路相同解答可得答案.

【解析】
(1)根据三角形的外角性质，

∠ABN=∠AOB+∠BAO=90+45=135

BE平分∠ABN，AC平分∠BAO,

∠ABE=∠ABN=67.5,∠BAC=∠BAO=22.5,

∠C=∠ABE-∠BAC=45,

(2)同理：∠ABN=∠AOB+∠BAO=90+60=150

BE平分∠ABN，AC平分∠BAO,

∠ABE=∠ABN=75,∠BAC=∠BAO=30,

∠C=∠ABE-∠BAC=45,

(3)∠C不随点A，B的移动而发生变化．

理由：因为∠ABN是△ABO的外角，

所以∠ABN＝∠AOB＋∠BAO.

因为BE平分∠ABN，AC平分∠BAO，

所以∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，

所以∠C＝∠ABE－∠BAC＝ (∠AOB＋∠BAO)－∠BAO＝∠AOB.

因为∠AOB＝∠MON＝90°，

所以∠C＝45°.