Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．

（1）当PB＝2厘米时，求点P移动多少秒？

（2）t为何值时，△PAQ为等腰直角三角形？

（3）求四边形QAPC的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．

Answer

（1）4；（2）2；（3）36，不论P、Q怎样运动总有四边形PBQD的面积等于长方形ABCD面积的一半

【解析】

试题（1）由AB、PB的长可求得AP的长，则可求得t的值；
（2）根据等腰直角三角形的性质可求得PB=BQ，则可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）可用t分别表示出S△APD、S△QCD，再利用面积的和差可求得四边形PBQD的面积，则可求得结论．

试题解析：

（1）∵PB=2cm，AB=6cm，
∴AP=AB-PB=6-2=4（秒），
即点P移动4秒；
（2）∵△PBQ为等腰直角三角形，
∴PB=BQ，即6-t=2t，解得t=2，
∴当t的值为2秒时，△PBQ为等腰直角三角形；
（3）由题意可知AP=t，AB=6，BQ=2t，BC=12，
∴PB=6-t，QC=12-2t，CD=6，AD=12，
∴S△APD=AP•AD=t×12=6t，

S△QCD=QC•CD=（12-2t）6=36-6t，
∴S四边形PBQD=S矩形ABCD-S△APD-S△QCD=72-6t-（36-6t）=36，
结论：不论P、Q怎样运动总有四边形PBQD的面积等于长方形ABCD面积的一半．