Question

（1）（操作发现）：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是　   　．

（2）（类比探究）：如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）（应用）：如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝4，其它条件不变，求线段GC的长．

Answer

（1）点E在BC的中点时，GF＝GC，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）CG＝1

【解析】

（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；
（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．
（3）设GF=GC=x，则 AG=4+x，DG=4-x，在Rt△ADG中利用勾股定理列出关于x的方程，解之可得．

（1）点E在BC的中点时，GF＝GC，

证明：如图一，连接EG，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE＝EF，

∴EF＝EC，

∵EG＝EG，∠C＝∠EFG＝90°，

∴△ECG≌△EFG（HL），

∴FG＝CG，

故答案为：FG＝CG；

（2）（1）中的结论仍然成立．

证明：如图二，连接FC，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，

∴EF＝EC，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，

∴∠ECD＝∠EFG，

∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，

∴∠GFC＝∠GCF，

∴FG＝CG；

即（1）中的结论仍然成立；

（3）设GF＝GC＝x，则 AG＝4+x，DG＝4﹣x，

在Rt△ADG中，（4+x）2＝（4﹣x）2+42，

解得：x＝1，

即CG＝1．