Question

如图，已知矩形OABC的顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴上，且AB＝4．P为OC上一点，将△BCP沿PB折叠，点C落在第三象限内点Q处，BQ与x轴的交点M恰好为OA的中点，且MQ＝1．

（1）求点A的坐标；

（2）求折痕PB所对应的函数表达式．

Answer

(1) A(－6，0);(2) y＝－x＋1.

【解析】

（1）由M为OA的中点，可设AM=OM=x．根据矩形的性质得出BC=AO=2x．由折叠的性质得出BQ=BC=2x，那么BM=2x-1．在Rt△ABM中根据勾股定理列出方程x2+42=（2x-1）2，解方程求出x，进而得到点A的坐标；
（2）设PQ与OA相交于点N．由△MQN∽△MAB，求出MN=，QN=，那么ON=．由△MQN∽△PON，求出OP=1，得到P（0，1）．设折痕PB所对应的函数表达式为y=kx+b，将B、P两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出折痕PB所对应的函数表达式．

【解析】
（1）∵M为OA的中点，
∴可设AM=OM=x．
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=AO=2x．
由△BCP沿PB折叠，得BQ=BC=2x，则BM=BQ-MQ=2x-1．
在Rt△ABM中，由勾股定理得x2+42=（2x-1）2，
解得x=3，
∴A（-6，0）；
（2）如图，设PQ与OA相交于点N．

在△MQN与△MAB中， ，
∴△MQN∽△MAB，
∴ ，即 ，
∴MN=

，QN=．
∴ON=OM-MN=3-=．
在△MQN与△PON中，

，
∴△MQN∽△PON，
∴ ，即，
∴OP=1，∴P（0，1）．
设折痕PB所对应的函数表达式为y=kx+b，
∵B（-6，4）、P（0，1），
∴-6k+b=4,b=1，解得k=- ,b=1，
∴折痕PB所对应的函数表达式为y= -x+1．