Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心、OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，与AB的另一个交点为E，连接DE．

（1）请找出图中与△ADE相似的三角形，并说明理由；

（2）若AC＝3，AE＝4，试求图中阴影部分的面积；

（3）小明在解题过程中思考这样一个问题：如图中的⊙O的圆心究竟是怎么确定的呢？请你在如图中利用直尺和圆规找到符合题意的圆心O，并写出你的作图方法．

Answer

(1)见解析;(2)π－;(3)见解析.

【解析】

（1）BC为圆O的切线，连接OD，可推出∠EAD=∠ODA=∠DAC，由∠EDA=∠DCA=90°，可推出△AED∽△ADC．
（2）根据△AED∽△ADC，可得出AD的长度，再根据△AED的三边比例关系，可推出∠AOD=120，再利用扇形面积减三角形的面积即可得到阴影部分面积．
（3）①作∠BAC的角平分线交BC边于点D，②过点D作BC的垂线交AB于点O．（注：方法不唯一）

【解析】
（1）△ACD与△ADE相似，如图（1）所示，

连接OD，∵⊙O恰好与BC相切于点D，
∴∠ODB=90°，
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠DAC，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴△ACD∽△ADE．
（2）∵△ACD∽△ADE，
∴，
∴AD=2，
∵AC=3，根据勾股定理得CD=，
∴sin∠DAC=，
∴∠DAC=∠EAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴S△OAD=OA2=，
∴S=．
（3）如图2所示，作图方法：
①以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点H，以H、C为圆心，大于CH长为半径画弧，交于点G，连接AG，AG即为∠BAC的角平分线，AG与BC的交点即为点D．
②以D为圆心，DC长为半径画弧，交BD于点C′，以C、C′为圆心，大于CC′为半径画弧，分别交于点E、F，连接EF，EF即为CC′的垂直平分线，EF与AB的交点即为点O．