Question

如图，已知二次函数y＝ax²－4ax＋c的图像交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点C（0，3）．

（1）若tan∠ACO＝，求这个二次函数的表达式；

（2）若OC为OA、OB的比例中项．

①设这个二次函数的顶点为P，求△PBC的面积；

②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y＝－x²＋x＋3;(2)①；;②见解析.

【解析】

（1）根据OC=3，tan∠ACO= ，可知OA的长度，代入点A、C可求出二次函数的表达式．
（2）①根据OC为OA、OB的比例中项，可推出△ACO∽△BCO，求出B、A的坐标，二次函数的解析式可求，点P的坐标可求，△PBC的面积可求． ②分两种情况讨论，再根据相似求出线段长度，再利用平移规律得到点N的坐标．

【解析】
（1）在Rt△AOC中，C（0，3），tan∠ACO=，
∴A（-2，0），
则有
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+3．
（2）①∵对称轴x=-=2，如图1所示，

由OC为OA、OB的比例中项可得△AOC∽△COB．
设点A的坐标为（m，0），则点B的坐标为（4-m，0），
则OA=-m，OB=4-m，
∴，
解得m1=2+（舍），m2=2-，
∴A（2-，0），B（+2），
则有 ，
解得

∴二次函数的解析式为y=-x2+x+3，
∴P（2，），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y=，

过点P作y轴的平行线交BC于点Q，
则Q（2，），
∴PQ=，
∴S=，

②存在，分两种情况．
情况一：如图2所示，

此时M于O重合，
∴N（+2，3）．
情况二：如图3所示，

∵四边形CBMN为矩形，∴∠CBM=90°，
∴∠CBO=∠OMB，
∵∠COB=∠BOM，
∴△COB∽△BOM，
∴，即

解得OM=，
∴M（0，-），
线段NC可以从BM平移得到，
点B与点C为对应点，点M与点N为对应点，
点B向左移动（2+）个单位，向上移动3个单位得到点C，
∴点M到点N也是同样得平移规律，
∴N（-2-，--）．
综上，点N的坐标为（+2，3）或（--2，--）