Question

如图，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，对角线BD长为12．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）动点P从点A出发，沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿D→C→B的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（s）．

①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值；

②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角形？

Answer

(1)16;(2) ①;②见解析.

【解析】

（1）连接AC交BD于O，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∠BCD=∠BAD=120°，∠BCO=∠BCD=60°，OB=OD=BD=6，在Rt△BOC中，由三角函数求出BC=4，即可得出菱形ABCD的周长；
（2）①当点Q在CD边上时，设PQ交BD于M，则PM=QM，由平行线求出BP=DQ，根据题意得：AP=t，DQ=2t，则BP=4-t，得出4-t=2t，解方程即可；
当点Q在CB边上时，不存在；
②当点Q在CD边上时，若∠PAQ=90°，与平行线的性质得出∠AQD=∠PAQ=90°，则∠DAQ=30°，由直角三角形的性质得出DQ=AD=2，即2t=2，求出t的值即可；
若∠APQ=90°，作AN⊥CD于N，则∠PAN=90°，NQ=AP=t，由直角三角形的性质得出DN=AD=2，得出方程2t=2+t，解方程即可；
当点Q在CB边上时，证出∠BPQ=90°，即∠APQ=90°恒成立． 得出当2≤t≤4时△APQ都为直角三角形；即可得出答案．

【解析】
（1）连接AC交BD于O，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∠BCD=∠BAD=120°，∠BCO=∠BCD=60°，OB=OD=BD=6，
在Rt△BOC中，BC= ，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16；
（2）①当点Q在CD边上时，
设PQ交BD于M，则PM=QM，
∵AB∥CD，
∴=1，
∴BP=DQ，
根据题意得：AP=t，DQ=2t，则BP=4-t，
∴4-t=2t，
解得：t=；
当点Q在CB边上时，不存在；
②当点Q在CD边上时，若∠PAQ=90°，如图2所示：

∵AB∥CD，
∴∠AQD=∠PAQ=90°，
∴∠DAQ=30°，
∴DQ=AD=2，
即2t=2，
解得：t=；
若∠APQ=90°，如图3所示：

作AN⊥CD于N，则∠PAN=90°，NQ=AP=t，
∴∠DAN=30°，
∴DN=AD=2，
∵DQ=DN+NQ，
∴2t=2+t，
解得：t=2；
当点Q在CB边上时，如图4所示：

根据题意得：AP=t，BP=4-t，CQ=2t-4，
∴BQ=4-（2t-4）=8-2t，
∴BP=BQ，
作QH⊥BP于H，
∵∠ABC=60°，
∴∠BQH=30°，
∴BH=BQ=4-t，
∴BP=BH，即H与P重合，
∴∠BPQ=90°，
即∠APQ=90°恒成立．
∴当2≤t≤4时△APQ都为直角三角形．
综上可得，当t=或2≤t≤4时，△APQ恰好为直角三角形．