Question

如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B.C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k=4，则△OEF的面积为；②若k＝，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG=，则k=1．其中正确的命题的序号是____________（填序号）．

Answer

②④

【解析】

（1）若k=4，则计算，故命题①错误；
（2）如答图所示，若k=，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG=，求出k=1，故命题④正确．

命题①错误，理由如下：

∵k=4，

∴

∴

∴S△OEF=S矩形AOBC−S△AOE−S△BOF−S△CEF

=S矩形AOBC,

∴，故命题①错误；

命题②正确，理由如下：

∵

∴

∴

如答图,过点E作EM⊥x轴于点M,则EM=3,OM=；

在线段BM上取一点N,使得EN=CE=，连接NF.

在Rt△EMN中,由勾股定理得：

∴

在Rt△BFN中,由勾股定理得：

∴NF=CF，

又∵EN=CE，

∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，

故命题②正确；

命题③错误，理由如下：

由题意,点F与点C(4,3)不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误；

命题④正确；理由如下：

为简化计算,不妨设k=12m,则E(4m,3),F(4,3m).

设直线EF的解析式为y=ax+b，则有

解得

∴

令x=0,得y=3m+3,∴D(0,3m+3)；

令y=0,得x=4m+4,∴G(4m+4,0).

如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3.

在Rt△ADE中，AD=OD−OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；

在Rt△MEG中,MG=OG−OM=(4m+4)−4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5.

∴DE⋅EG=5m×5=25m=,解得 ，

∴k=12m=1，故命题④正确，

综上所述，正确的命题是：②④，

故答案为：②④.