Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴.y轴交于B，A两点，点D，C分别为线段AB，OB的中点，连结CD，如图，将△DCB绕点B按顺时针方向旋转角，如图．

(1)连结OC，AD，求证∽；

(2)当0°<<180°时，若△DCB旋转至A，C，D三点共线时，求线段OD的长；

(3)试探索：180°<<360°时，是否还有可能存在A，C，D三点共线的情况，若存在，求出此直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）（3）存在，

【解析】

（1）先确定出点A，B坐标，进而求出BC，CD，即可判断出△OBC∽△ABD；
（2）先确定出△ACB≌△BOA，进而判断出平行四边形AOBC是矩形，利用勾股定理即可得出结论；
（3）先求出，进而利用勾股定理求出点C的坐标（，），最后用待定系数法即可得出结论．

【解析】
(1)由得A(0，4),B(8，0)，

则OA=4，OB=8，

∵AD=BD,OC=BC

∴BC=4，

∵∠ABO=∠DBC,

∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC.

∴∠OBC=∠ABD，

又.∵

∴△OBC∽△ABD.

(2)当0°<<180°，且A,C,D三点共线时，如图，

∵∠BCD=90°,

∴∠ACB=90°.

∴∠ACB=∠BOA=90°.

又∵OA=BC=4，AB=BA,

∴△ACB≌△BOA.

∴AC=BO.

∴四边形AOBC是平行四边形 又∵∠AOB=90°.

∴平行四边形AOBC是矩形.

∴∠AOC=90°，AC=OB=8.

∴AD=AC+CD=8+2=10.

∴

(3)存在.

当180°<<360°且A,C,D三点共线时，如图，

连结OC,同（1）可得：△ABD∽△BOC.

∴

同（2）可得：△ACB≌△BOA.

∴AC=BO=8.

又CD=2，∴AD=6.

∵

∴

∴

过点C作CM⊥y轴于M，设OM=y，MC=x.

在Rt△OMC和Rt△AMC中有：

解得：

∴点C的坐标（，），

设直线AC的表达式为

∴解得：

所以所求直线AC的表达式为